ولد في حي القابون بدمشق عام 1944، لأب مؤذن ومنشد وأم منشدة. ثم تتلمذ على يد الشيخ محمد حمزة القابوني بعلم التجويد واللغة العربية وفنون الشعر وطريقة الارتجال. إلى أن أخذ بيده الشيخ العلامة سعيد فرحات ليسلمَه فنون الإنشاد ومدارسه ويلقنه فضاءات الغناء الأصيل والتأليف الموسيقي. ثم ألّف مع مجموعة من طلاب المدرسة بإشراف من الشيخ سعيد فرحات فرقةً مدرسية للأناشيد الوطنية والمدائح النبوية؛ وكان أول تسجيلاتهم في العام 1958م إبان الوحدة في نشيد وطني «تجلّت قوة الأحرار فينا» وهو من كلمات وألحان الأخوين عبد الهادي وفهمي البكّار.

في 1960م، بدأ الشيخ حمزة بتسجيل الابتهالات الدينية والمدائح في الإذاعة والتلفزيون، ليظهر على شاشة التلفاز ومسموعاً عبر أثير الإذاعة بأوقات الإفطار والسحور في شهر رمضان المبارك.

في 1963م، فيما كان يمارس هواه الموسيقي لدى أستاذه الشيخ سعيد فرحات، وكمنشد في الإذاعة والتلفزيون، حاز على بطولة دمشق في رفع الأثقال، ثم بطولة سورية في 1966م.

في 1971م، تمّ تعيينه مطرباً في «فرقة أمية» الوطنية التابعة لوزارة الثقافة، وسافر معها في 1973م إلى ألمانيا، وبلغاريا، وهنغاريا، وتركيا.

في 1972م، كان أول من قدّم البرامج الدينية للتلفزيون العربي السوري.

في 1974م، أسس فرقته «رابطة المنشدين» وجال بها كافة دول أوروبا ومعظم دول العالم.

في 1983، كوَّن حمزة شكور فرقة ذات طابع خاص للإنشاد الديني عام 1983 بمبادرة من الفنان السويسري المستشرق جوليان فايس، والتي أطلق عليها اسم «الكندي» نسبة إلى الفيلسوف والرياضي والفلكي العراقي محمد بن يعقوب الكندي الذي يُعتبر الأبَ المؤسسَ للنظرية الموسيقية العربية. كان فايس قد جاء إلى دمشق من أجل تأسيس فرقة موسيقية، وتحول إلى الإسلام وأطلق على نفسه جلال الدين فايس. وقد تولى الشيخ حمزة إعداد برنامج الفرقة الذي يتألف من إنشاديات وابتهالات صوفية، والذي يجري تجديده كل ثلاث سنوات. وهنا أيضاً أسهمت فرقة «الكندي» في إيصال الإنشاد الصوفي الذي ترافقه الدراويش المولوية (تقوم بما يسمى الطقس المولوي أو الدوران تحقيقاً للانخطاف والطرب بالخالق)، وذلك بفضل حفلاتٍ حول العالم من الهند شرقاً وحتى الولايات المتحدة غرباً وتسجيلاتٍ أصدرتها شركات أسطوانات كبرى.

في 2001م، بدأ التعاون مع الأب الياس زحلاوي وفرقة «جوقة الفرح» بعدّة حفلات بهدف التأكيد على الإخاء الإسلامي المسيحي والتسامح الديني في سورية.

في تشرين الأول 2008، كانت آخر حفلاته في اختتام ملتقى الأديبات العربيات في دار الأسد للثقافة والفنون بدمشق، حيث تربّع الشيخ حمزة بثوبه التراثي الأنيق كالملك الراعي وسط فرقته الضخمة مع فرقة «جوقة الفرح»، ليقدموا برنامجاً متنوعاً ضم الأذان والتجويد، والأناشيد الوطنية المتغنية بالشام، والموشَّحات والصلوات والشعائر والأغاني الطربية. وانضم الدراويش -أو فرسان العشق الإلهي، كما يسمّيهم الشيخ حمزة- إلى الأمسية للدوران على الإيقاعات الصوفية.

توفي في 4 شباط 2009 عن 65 عاماً حافلاً من العمل والإنجاز والتميّز، رحمه الله.